Tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.

Hướng dẫn giải:

Theo địn lí côsin ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)

Thay số: \(B{C^2} = {6^2} + {8^2} - 2.6.8.\cos 60^\circ = 52\)

\( \Rightarrow BC = \sqrt {52} \).

Do đó ta có nửa chu vi tam giác ABC là:

\(p = \frac{1}{2}\left( {AB + AC + BC} \right) = \frac{1}{2}\left( {6 + 8 + \sqrt {52} } \right) = 7 + \sqrt {13} \).

Diện tích tam giác ABC là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} = 12\sqrt 3 \).

Mặt khác \(S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{12\sqrt 3 }}{{7 + \sqrt {13} }} \approx 1,96\).