Tính các giới hạn sau: a) lim x 0( x + 2)^2 - 4/x; b) lim x 0 căn bậc hai của x^2 + 9 - 3/x^2
Tính các giới hạn sau:
a) lim;
b) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} - 3}}{{{x^2}}}.
Tính các giới hạn sau:
a) lim;
b) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} - 3}}{{{x^2}}}.
Lời giải:
Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x ⟶ 0 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số đối với cả hai câu a và b.
a) Ta có: \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 4}}{x} = \frac{{\left[ {\left( {x + 2} \right) - 2} \right].\left[ {\left( {x + 2} \right) + 2} \right]}}{x} = \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{x} = x + 4 với x ≠ 0.
Do đó \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 4}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x + 4} \right) = 0 + 4 = 4.
b) Ta có: \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} - 3}}{{{x^2}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 9} } \right)}^2} - {3^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 9} + 3} \right)}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 9} + 3} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} + 3}}.
Do đó \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} - 3}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} + 3}} = \frac{1}{6}.