Đáp án C

Phương pháp

TH1: $\cos x = 0$

TH2: $\cos x \ne 0$

Chia cả hai vế cho $co{s^2}x$ đưa về giải phương trình ẩn $\tan x$.

Sử dụng $\tan x = m \Leftrightarrow x = \arctan m + k\pi$, $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Cách giải:

+ Với $\cos x = 0$ thay vào phương trình $2{\sin ^2}x + 3\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2$ ta được

$2{\sin ^2}x = 2 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\left( {tm} \right)$ nên $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ thỏa mãn phương trình đã cho.

+ Với $\cos x \ne 0$, ta chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}x \ne 0$ ta được $2{\tan ^2}x + 3\tan x + 5 = 2.\frac{1}{{co{s^2}x}}$

$\Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + 3\tan x + 5 = 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \Leftrightarrow 3\tan x = - 3 \Leftrightarrow \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\left( {tm} \right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi$, $x = \frac{\pi }{2} + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$