Thước vẽ truyền là một dụng cụ gồm bốn thanh gỗ hoặc kim loại được ghép với nhau nhờ bốn khớp xoay

Vận dụng 1 trang 32 Chuyên đề Toán 11: Thước vẽ truyền là một dụng cụ gồm bốn thanh gỗ hoặc kim loại được ghép với nhau nhờ bốn khớp xoay tại các điểm A, B, C, D sao cho ABCD là hình bình hành và ba điểm O, D, D’ thẳng hàng. Khi sử dụng, người vẽ ghim cố định điểm O xuống mặt giấy (thước vẫn có thể xoay quanh O). Đặt hai cây bút tại hai điểm D và D’. Khi đầu bút D vẽ hình ℋ, đầu bút D’ sẽ tự động vẽ truyền cho ta hình ℋ ’ là ảnh của ℋ.

a) Xác định tâm và tỉ số k của phép vị tự được sử dụng trong cây thước vẽ truyền ở Hình 5.

b) Nếu ngược lại cho đầu bút D’ vẽ hình ℋ ’ khi đó đầu bút D sẽ tự động vẽ truyền cho ta hình ℋ là ảnh của ℋ ’. Xác định phép vị tự trong trường hợp này.

Trả lời

a) Do ba điểm O, D, D’ thẳng hàng (giả thiết), suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{OD}}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{\mathrm{OD}}$.

Do đó V_{(O, k)}(D) = D’ và OD’ = |k|.OD.

Vì D, D’ nằm cùng phía đối với O nên k > 0.

Suy ra $k=\frac{{\mathrm{OD}}^{\text{'}}}{\mathrm{OD}}$.

Ta có AB // BD’ (do ABCD là hình bình hành) và ba điểm O, D, D’ thẳng hàng (giả thiết).

Khi đó áp dụng định lí Thales, ta được $k=\frac{\mathrm{OD}}{{\mathrm{OD}}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}}$.

Vậy phép vị tự cần tìm là $V_{\left(O,\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}}\right)}$.

b) Từ câu a, ta có $\overrightarrow{{\mathrm{OD}}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ (k > 0).

Suy ra $\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{1}{k}\overrightarrow{{\mathrm{OD}}^{\text{'}}}$.

Khi đó $V_{\left(O,\frac{1}{k}\right)}\left(D^{\text{'}}\right)=D$.

Ta có $\frac{1}{k}=1:\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OA}}$.

Vậy phép vị tự cần tìm là ${\text{V}}_{\left(O,\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OA}}\right)}$.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Phép đối xứng tâm

Bài 5: Phép quay

Bài 6: Phép vị tự

Bài 7: Phép đồng dạng

Bài tập cuối chuyên đề 1

Bài 1: Đồ thị