Sử dụng kết quả của câu a, hãy viết P dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức và một hằng số. Dùng kết quả đó để tìm tất cả các giá trị nguyên của x để phân thức đã cho có giá trị cũng là số nguyên.
Vì 4x2 + 2x + 3 = 2x(2x + 1) + 3 nên
\(P = \frac{{4{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}} = \frac{{2x\left( {2x + 1} \right) + 3}}{{2x + 1}}\) = \(2x + \frac{3}{{2x + 1}}\).
Vì x là số nguyên nên 2x là số nguyên.
Để P là số nguyên thì (2x + 1) ∈ Ư(3) = {1; –1; 3; –3}.
Mà x là số nguyên.
Suy ra x ∈ {0; –1; 1; –2}. Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \(x \ne - \frac{1}{2}\).
Vậy x ∈ {0; –1; 1; –2}.