Biết x + y + z = 0 và x, y ≠ 0. Chứng minh phân thức \(\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}}\) có giá trị không đổi.

Theo đề bài ta có: x + y + z = 0, suy ra z = –x – y.

Do đó, phân thức \(\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}}\) trở thành:

\(\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {{\left( { - x - y} \right)}^2}}} = \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {{\left( {x + y} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {x^2} - 2xy - {y^2}}} = \frac{{xy}}{{ - 2xy}} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Vậy phân thức \(\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}}\) có giá trị không đổi bằng \(\frac{{ - 1}}{2}\).