Biết x + y + z = 0 và x, y ≠ 0. Chứng minh phân thức $\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}}$ có giá trị không đổi.

Theo đề bài ta có: x + y + z = 0, suy ra z = –x – y.

Do đó, phân thức $\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}}$ trở thành:

$\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {{\left( { - x - y} \right)}^2}}} = \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {{\left( {x + y} \right)}^2}}}$

$= \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {x^2} - 2xy - {y^2}}} = \frac{{xy}}{{ - 2xy}} = \frac{{ - 1}}{2}$.

Vậy phân thức $\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}}$ có giá trị không đổi bằng $\frac{{ - 1}}{2}$.