Chọn C

Điều kiện x > 0.

Ta có

$\begin{array}{l}{\log }_4\left(x+6\right)<2-2{\log }_{4}x\iff {\log }_4\left(x+6\right)<{\log }_4\frac{16}{x^2}\\ \iff x+6<\frac{16}{x^2}\iff x^3+6x^2-16<0\iff \left[\begin{array}{l}x<-2-2\sqrt{3}\\ -2<x<-2+2\sqrt{3}.\end{array}\right.\end{array}$

So với điều kiện ta có $0<x<-2+2\sqrt{3}$.

Suy ra nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là x = 1.

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên.