Chọn D

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua CD’ và cắt C'B' tại I $\Rightarrow \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)\cap \left(\alpha \right)=D^{\text{'}}I$.

Kẻ $C^{\text{'}}H\perp DI\Rightarrow DI\perp CH\Rightarrow \phi =\widehat{CH{C}^{\text{'}}}$.

Ta có $\Delta C{C}^{\text{'}}H$ vuông tại $C^{\text{'}}\Rightarrow C^{\text{'}}H=C^{\text{'}}C.\cot \phi =\frac{2a}{\sqrt{5}}$.

Ta có $\Delta C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}I$ vuông tại $\frac{1}{C^{\text{'}}{H}^2}=\frac{1}{C^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{C^{\text{'}}{I}^2}\Rightarrow C^{\text{'}}{I}^2=4a^2\Rightarrow C^{\text{'}}I=2a$.

Ta thấy với C'I = 2a thì $CI\cap B^{\text{'}}B=Q$ nên Q là trung điểm BB'.

$D^{\text{'}}I\cap A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=P$ nên P là trung điểm A'B'.

Ta có:

$V_{I.C{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=V_{I.B^{\text{'}}PQ}+V_{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.QP{B}^{\text{'}}}\Rightarrow V_{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.QP{B}^{\text{'}}}=V_{I.C{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}-V_{I.B^{\text{'}}PQ}=\frac{1}{3}.2a.\frac{1}{2}a.a-\frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}a.a=\frac{7a^3}{24}=V_2$

Vì $V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=V_1+V_2=V_1+V_{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.QP{B}^{\text{'}}}\Rightarrow V_1=V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}-V_{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.QP{B}^{\text{'}}}=a^3-\frac{7a^3}{24}=\frac{17a^3}{24}$.

Vậy $V_1=\frac{17a^3}{24}$.