Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh

Bài 6.6 trang 9 Toán 11 Tập 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}}$;

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}}$.

Trả lời

a) Ta có $6\sqrt{3}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36\cdot 3}=\sqrt{108}$ và $3\sqrt{6}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{9\cdot 6}=\sqrt{54}$.

Vì 108 > 54 > 0 nên $\sqrt{108}>\sqrt{54}$ hay $6\sqrt{3}>3\sqrt{6}$.

Lại có 5 > 1 nên $5^{6\sqrt{3}}$ > $5^{3\sqrt{6}}$.

b) Ta có ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}=2^{\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=2^{\frac{7}{6}}$.

Do 2 > 1 và $\frac{4}{3}=\frac{8}{6}>\frac{7}{6}$ nên $2^{\frac{4}{3}}>2^{\frac{7}{6}}$, tức là ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}$ > $\sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}}$.