Giải SGK Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 19: Lôgarit

Giải Toán 11 Bài 19: Lôgarit

Mở đầu trang 10 Toán 11 Tập 2: Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng, với lãi suất không đổi là 6% một năm. Khi đó sau n năm gửi thì tổng số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) cho bởi công thức sau:

A = 100 ∙ (1 + 0,06)ⁿ (triệu đồng).

Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, tổng số tiền bác An thu được không dưới 150 triệu đồng?

Lời giải:

Sau bài học, ta giải quyết được bài toán như sau:

Ta có: A = 100 ∙ (1 + 0,06)ⁿ = 100 ∙ 1,06ⁿ.

Với A = 150, ta có: 100 ∙ 1,06ⁿ = 150 hay 1,06ⁿ = 1,5, tức là n = log_1,06 1,5 ≈ 6,96.

Vì gửi tiết kiệm kì hạn 12 tháng (tức là 1 năm) nên n phải là số nguyên. Do đó ta chọn n = 7.

Vậy sau ít nhất 7 năm thì bác An nhận được số tiền ít nhất là 150 triệu đồng.

1. Khái niệm Lôgarit

HĐ1 trang 10 Toán 11 Tập 2: Nhận biết khái niệm lôgarit

Tìm x, biết:

a) 2^x = 8;

b) $2^x=\frac{1}{4}$;

c) $2^x=\sqrt{2}$.

Lời giải:

a) 2^x = 8 ⇔ 2^x = 2³ ⇔ x = 3.

b) $2^x=\frac{1}{4}$$\iff 2^x=2^{-2}\iff x=-2$.

c) $2^x=\sqrt{2}$$\iff 2^x=2^{\frac{1}{2}}\iff x=\frac{1}{2}$.

Luyện tập 1 trang 11 Toán 11 Tập 2: Tính:

a) ${\log }_{3}3\sqrt{3}$;

b) ${\log }_{\frac{1}{2}}32$.

Lời giải:

a) ${\log }_{3}3\sqrt{3}={\log }_3\left(3\cdot 3^{\frac{1}{2}}\right)={\log }_3{3}^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}$.

b) ${\log }_{\frac{1}{2}}32={\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-5}=-5$.

2. Tính chất của Lôgarit

HĐ2 trang 11 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc tính lôgarit

Cho M = 2⁵, N = 2³. Tính và so sánh:

a) log₂(MN) và log₂M + log₂N;

b) ${\log }_2\left(\frac{M}{N}\right)$ và log₂M – log₂N.

Lời giải:

a) Ta có log₂(MN) = log₂(2⁵ ∙ 2³) = log₂(2^{5 + 3}) = log₂2⁸ = 8

và log₂M + log₂N = log₂2⁵ + log₂2³ = 5 + 3 = 8.

Vậy log₂(MN) = log₂M + log₂N.

b) Ta có ${\log }_2\left(\frac{M}{N}\right)={\log }_2\left(\frac{2^5}{2^3}\right)={\log }_2{2}^{5-3}={\log }_2{2}^2=2$

và log₂M – log₂N = log₂2⁵ – log₂2³ = 5 – 3 = 2.

Vậy ${\log }_2\left(\frac{M}{N}\right)$ = log₂M – log₂N.

Luyện tập 2 trang 11 Toán 11 Tập 2: Rút gọn biểu thức:

A = log₂(x³ – x) – log₂(x + 1) – log₂(x – 1) (x > 1).

Lời giải:

Với x > 1, ta có

A = log₂(x³ – x) – log₂(x + 1) – log₂(x – 1)

= ${\log }_2\frac{x^3-x}{x+1}-{\log }_2\left(x-1\right)$

= ${\log }_2\frac{x\left(x^2-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$

= ${\log }_2\frac{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}={\log }_{2}x$.

HĐ3 trang 11 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức đổi cơ số của lôgarit

Giả sử đã cho log_aM và ta muốn tính log_bM. Để tìm mối liên hệ giữa log_aM và log_bM, hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Đặt y = log_aM, tính M theo y;

b) Lấy lôgarit theo cơ số b cả hai vế của kết quả nhận được trong câu a, từ đó suy ra
công thức mới để tính y.

Lời giải:

a) Đặt y = log_aM, theo định nghĩa về lôgarit, ta suy ra M = a^y.

b) Lấy lôgarit theo cơ số b cả hai vế của M = a^y ta được

log_bM = log_ba^y ⇔ log_bM = y log_ba $\iff y=\frac{{\log }_{b}M}{{\log }_{b}a}$.

Luyện tập 3 trang 12 Toán 11 Tập 2: Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính ${\log }_9\frac{1}{27}$.

Lời giải:

Ta có ${\log }_9\frac{1}{27}={\log }_{3^2}{3}^{-3}=\frac{{\log }_3{3}^{-3}}{{\log }_3{3}^2}=\frac{-3}{2}$.

3. Lôgarit thập phân và Loogarit tự nhiên

Vận dụng trang 14 Toán 11 Tập 2: Cô Hương gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất 6% một năm.

a) Tính số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo một trong các thể thức sau:

- Lãi kép kì hạn 12 tháng;

- Lãi kép kì hạn 1 tháng;

- Lãi kép liên tục.

b) Tính thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

a) Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm nếu lãi suất được tính theo hình thức lãi kép kì hạn 12 tháng là

100 ∙ (1 + 0,06) = 106 (triệu đồng).

Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm nếu lãi suất được tính theo hình thức lãi kép kì hạn 1 tháng là

$100\cdot {\left(1+\frac{0,06}{12}\right)}^{12}\approx 106,17$ (triệu đồng).

Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm nếu lãi suất được tính theo hình thức lãi kép liên tục là

100 ∙ e^{0,06 . 1} ≈ 106,18 (triệu đồng).

b) Gọi t (năm) là thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục.

Ta có: 150 = 100 ∙ e^0,06t. Suy ra 0,06t = ln1,5 hay t ≈ 6,8 năm.

Bài tập

Bài 6.9 trang 14 Toán 11 Tập 2: Tính:

a) log₂2^{– 13};

b) $\ln e^{\sqrt{2}}$;

c) log₈16 – log₈2;

d) log₂6 ∙ log₆8.

Lời giải:

a) log₂2^{– 13} = – 13.

b) $\ln e^{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$.

c) log₈16 – log₈2 = ${\log }_8\frac{16}{2}={\log }_{8}8=1$.

d) log₂6 ∙ log₆8 = ${\log }_{2}6\cdot \frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}6}={\log }_{2}8={\log }_2{2}^3=3$.

Bài 6.10 trang 14 Toán 11 Tập 2: Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) $A=\ln \left(\frac{x}{x-1}\right)+\ln \left(\frac{x+1}{x}\right)-\ln \left(x^2-1\right)$;

b) $B=21{\log }_3\sqrt[3]{x}+{\log }_3\left(9x^2\right)-{\log }_{3}9$.

Lời giải:

a) $A=\ln \left(\frac{x}{x-1}\right)+\ln \left(\frac{x+1}{x}\right)-\ln \left(x^2-1\right)$

$=\ln \left(\frac{x}{x-1}\cdot \frac{x+1}{x}\right)-\ln \left(x^2-1\right)$

$=\ln \frac{x+1}{x-1}-\ln \left(x^2-1\right)$

$=\ln \frac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2-1\right)}$

$=\ln \frac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

$=\ln \frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}=-\ln {\left(x-1\right)}^2$.

b) $B=21{\log }_3\sqrt[3]{x}+{\log }_3\left(9x^2\right)-{\log }_{3}9$

$=21{\log }_3{x}^{\frac{1}{3}}+{\log }_3\left(9x^2\right)-{\log }_{3}9$

$={\log }_3{x}^{\frac{21}{3}}+{\log }_3\left(9x^2\right)-{\log }_{3}9$

$={\log }_3{x}^7+{\log }_3\left(9x^2\right)-{\log }_{3}9$

$={\log }_3\frac{x^7\cdot 9x^2}{9}={\log }_3{x}^9$.

Bài 6.11 trang 15 Toán 11 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A={\log }_{\frac{1}{3}}5+2{\log }_{9}25-{\log }_{\sqrt{3}}\frac{1}{5}$;

b) $B={\log }_a{M}^2+{\log }_{a^2}{M}^4$.

Lời giải:

a) $A={\log }_{\frac{1}{3}}5+2{\log }_{9}25-{\log }_{\sqrt{3}}\frac{1}{5}$

$={\log }_{3^{-1}}5+2{\log }_{3^2}{5}^2-{\log }_{3^{\frac{1}{2}}}{5}^{-1}$

$=-{\log }_{3}5+2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}{\log }_{3}5+2{\log }_{3}5$

$=3{\log }_{3}5$.

b) $B={\log }_a{M}^2+{\log }_{a^2}{M}^4$$=2{\log }_{a}M+\frac{1}{2}\cdot 4{\log }_{a}M=4{\log }_{a}M$.

Bài 6.12 trang 15 Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = log₂3 ∙ log₃4 ∙ log₄5 ∙ log₅6 ∙ log₆7 ∙ log₇8;

b) B = log₂2 ∙ log₂4 ∙∙∙ log₂2ⁿ.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có:

A = log₂3 ∙ log₃4 ∙ log₄5 ∙ log₅6 ∙ log₆7 ∙ log₇8

$=\frac{\log 3}{\log 2}\cdot \frac{\log 4}{\log 3}\cdot \frac{\log 5}{\log 4}\cdot \frac{\log 6}{\log 5}\cdot \frac{\log 7}{\log 6}\cdot \frac{\log 8}{\log 7}$

$=\frac{\log 8}{\log 2}={\log }_{2}8={\log }_2{2}^3=3$.

b) B = log₂2 ∙ log₂4 ∙∙∙ log₂2ⁿ

= log₂2 ∙ log₂2² ∙∙∙ log₂2ⁿ

= 1 ∙ 2 ∙ … ∙ n = n!.

Bài 6.13 trang 15 Toán 11 Tập 2: Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là

a = 15 500(5 – log p),

trong đó a là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và p là áp suất không khí (tính bằng pascal).

Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao 8 850 m so với mực nước biển.

Lời giải:

Ta có đỉnh Everest có độ cao 8 850 m so với mực nước biển nên a = 8 850.

Khi đó 15 500(5 – log p) = 8 850 $\iff \log p=\frac{1373}{310}$$\iff p={10}^{\frac{1373}{310}}\approx 26855,44$.

Vậy áp suất không khí ở đỉnh Everest xấp xỉ 26 855,44 Pa.

Bài 6.14 trang 15 Toán 11 Tập 2: Mức cường độ âm L đo bằng decibel (dB) của âm thanh có cường độ I (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là W/m²) được định nghĩa như sau:

$L\left(I\right)=10\log \frac{I}{I_0}$,

trong đó I₀ = 10^{– 12} W/m² là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe).

Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:

a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ I = 10^{– 7} W/m².

b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ I = 10^{– 3} W/m².

Lời giải:

a) Mức cường độ âm của cuộc trò chuyện bình thường có cường độ I = 10^{– 7} W/m² là

$L_1=10\log \frac{I}{I_0}=10\log \frac{{10}^{-7}}{{10}^{-12}}=10\log {10}^5=50\left(dB\right)$.

b) Mức cường độ âm của giao thông thành phố đông đúc có cường độ I = 10^{– 3} W/m² là

$L_2=10\log \frac{I}{I_0}=10\log \frac{{10}^{-3}}{{10}^{-12}}=10\log {10}^9=90\left(dB\right)$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: