Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau

Bài 6.4 trang 9 Toán 11 Tập 2: Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}+y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}$;

b) $B={\left(\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}}\right)}^{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$.

Trả lời

a) $A=\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}+y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}$$=\frac{x^{\frac{1}{3}}{y}^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{6}}+y^{\frac{1}{6}}}=\frac{x^{\frac{1}{3}}{y}^{\frac{1}{3}}\left(x^{\frac{1}{6}}+y^{\frac{1}{6}}\right)}{x^{\frac{1}{6}}+y^{\frac{1}{6}}}=x^{\frac{1}{3}}{y}^{\frac{1}{3}}$.

b) $B={\left(\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}}\right)}^{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$$=\frac{x^{\sqrt{3}\cdot \left(\sqrt{3}+1\right)}}{y^{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}=\frac{x^{3+\sqrt{3}}}{y^2}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

$=\frac{x^{3+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1}}{y^{2+\left(-2\right)}}=\frac{x^2}{y^0}=x^2$.