Khai triển đa thức P( x ) = ( 1/3 + 2/3x)^10 = a0 + a1x + ... + a9/x^9 + a10/x^10. Tìm hệ số ak ( 0 nhỏ hơn hoặc bằng k nhỏ hơn hoặc bằng 10;k thuộc N ) lớn nhất trong khai triển trên. A.
43
23/04/2024
Khai triển đa thức \[P\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_9}{x^9} + {a_{10}}{x^{10}}\]. Tìm hệ số \[{a_k}\left( {0 \le k \le 10;k \in \mathbb{N}} \right)\] lớn nhất trong khai triển trên.
A. \[\frac{{{2^7}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^7\].
B. \[1 + \frac{{{2^7}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^7\].
C. \[\frac{{{2^6}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^6\].
D. \[\frac{{{2^8}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^8\].
Trả lời
Đáp án A
Phương pháp
Tìm số hạng tổng quát trong khai triển, đánh giá tìm số hạng lớn nhất.
Cách giải
SHTQ: \[{T_{k + 1}} = C_{10}^k.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{10 - k}}.{\left( {\frac{2}{3}x} \right)^{10 - k}} = C_{10}^k.\frac{1}{{{3^{10 - k}}}}.\frac{{{2^k}}}{{{3^k}}}.{x^k} = \frac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}.{x^k}\].
Hệ số của SHTQ là \[\frac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}\].
Ta có: \[\begin{array}{l}\frac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}} < \frac{{C_{10}^{k + 1}{{.2}^{k + 1}}}}{{{3^{10}}}} \Leftrightarrow C_{10}^k{.2^k} < C_{10}^{k + 1}{.2^{k + 1}} \Leftrightarrow C_{10}^k < 2C_{10}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{{10!}}{{k!\left( {10 - k} \right)!}} < 2.\frac{{10!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {9 - k} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{10 - k}} < \frac{2}{{k + 1}} \Leftrightarrow k + 1 < 2\left( {10 - k} \right) \Leftrightarrow 3k < 19 \Leftrightarrow k < \frac{{19}}{3}\end{array}\]
Do đó: \[\frac{{C_{10}^0{{.2}^0}}}{{{3^{10}}}} < \frac{{C_{10}^1{{.2}^1}}}{{{3^{10}}}} < ... < \frac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}}\] và \[\frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > \frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > ... > \frac{{C_{10}^{10}{{.2}^{10}}}}{{{3^{10}}}}\]
Mà \[\frac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}} < \frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}\] nên hệ số lớn nhất là \[\frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}\].
