Hình thang ABCD ở Hình 39 có AB // CD, AB < CD, . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G

Bài 41 trang 75, 76 SBT Toán 8 Tập 2: Hình thang ABCD ở Hình 39 có AB // CD, AB < CD, $\widehat{ABD}=90°$. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G. Điểm E nằm trên đường vuông góc với AC tại C thỏa mãn CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD. Điểm F nằm trên đoạn thẳng DC và DF = GB. Chứng minh:

a) ∆FDG ᔕ ∆ECG;

b) ∆GDC ᔕ ∆GFE;

c) $\widehat{GFE}=90°.$

Trả lời

a) Xét ∆GDC với AB // CD, ta có $\frac{BG}{GD}=\frac{AG}{GC}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Do đó $\frac{BG}{AG}=\frac{GD}{GC}.$

Mặt khác AG = CE, BG = DF nên $\frac{DF}{CE}=\frac{GD}{GC}.$

Xét ∆FDG và ∆ECG có:

$\widehat{GDF}=\widehat{GCE}=90°$ và $\frac{DF}{CE}=\frac{GD}{GC}$

Suy ra ∆FDG ᔕ ∆ECG (c.g.c).

b) Vì ∆FDG ᔕ ∆ECG (câu a) nên $\widehat{DGF}=\widehat{CGE}$ (hai góc tương ứng) và $\frac{DG}{CG}=\frac{GF}{GE}$ (tỉ số đồng dạng)

Từ $\widehat{DGF}=\widehat{CGE}$ ta có $\widehat{DGF}+\widehat{FGC}=\widehat{CGE}+\widehat{FGC}$ hay $\widehat{DGC}=\widehat{FGE}.$

Từ $\frac{DG}{CG}=\frac{GF}{GE}$ ta có $\frac{GD}{GF}=\frac{GC}{GE}.$

Xét ∆GDC và ∆GFE có:

$\widehat{DGC}=\widehat{FGE}$ và $\frac{GD}{GF}=\frac{GC}{GE}$ (chứng minh trên)

Suy ra ∆GDC ᔕ ∆GFE (c.g.c).

c) Vì ∆GDC ᔕ ∆GFE (câu b) nên $\widehat{GDC}=\widehat{GFE}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{GDC}=90°$ nên $\widehat{GFE}=90°.$

Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 5: Tam giác đồng dạng

Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài 9: Hình đồng dạng

Bài 10: Hình đồng dạng trong thực tiễn