Hình 38 cho biết tam giác ABC vuông ở A, AB = 5 cm, AC = 12 cm. Tam giác HAB vuông cân tại H, tam giác KAC vuông cân tại K

Bài 40 trang 75 SBT Toán 8 Tập 2: Hình 38 cho biết tam giác ABC vuông ở A, AB = 5 cm, AC = 12 cm. Tam giác HAB vuông cân tại H, tam giác KAC vuông cân tại K. Các cặp tam giác sau có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

a) Tam giác HAB và tam giác KAC.

b) Tam giác HKC và tam giác BAC.

Trả lời

a) Tam giác HAB vuông cân tại H nên HA = HB và HA² + HB² = AB² (định lí Pythagore)

Do đó 2HA² = AB² = 5² = 25 hay $H{A}^2=H{B}^2=\frac{25}{2}={\left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)}^2$

Suy ra $HA=HB=\frac{5}{\sqrt{2}}$ (cm).

• Tam giác KAC vuông cân tại K nên KA = KC và KA² + KC² = AC² (định lí Pythagore)

Do đó 2KA² = AC² = 12² = 144 hay $K{A}^2=K{B}^2=\frac{144}{2}={\left(\frac{12}{\sqrt{2}}\right)}^2$

Suy ra $KA=KC=\frac{12}{\sqrt{2}}$ (cm).

Ta có: $\frac{HA}{KA}=\frac{\frac{5}{\sqrt{2}}}{\frac{12}{\sqrt{2}}}=\frac{5}{12}$, $\frac{HB}{KB}=\frac{\frac{5}{\sqrt{2}}}{\frac{12}{\sqrt{2}}}=\frac{5}{12}$, nên $\frac{HA}{KA}=\frac{HB}{KC}$

Xét ∆HAB và ∆KAC có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90°$ và $\frac{HA}{KA}=\frac{HB}{KC}$ (chứng minh trên)

Suy ra ∆HAB ᔕ ∆KAC (c.g.c).

b) Ta có: ∆AHB vuông cân tại H nên $\widehat{HAB}=45°;$

∆AKC vuông cân tại K nên $\widehat{KAC}=45°.$

Do đó $\widehat{HAK}=\widehat{HAB}+\widehat{BAC}+\widehat{KAC}$ = $45°+90°+45°=180°.$

Suy ra ba điểm H, A, K thẳng hàng.

Khi đó $HK=AH+AK$ = $\frac{5}{\sqrt{2}}+\frac{12}{\sqrt{2}}=\frac{17}{\sqrt{2}}$ (cm).

⦁ ∆HKC vuông tại K và có hai cạnh góc vuông là: $HK=\frac{17}{\sqrt{2}}$ (cm), $KC=\frac{12}{\sqrt{2}}$ (cm).

∆BAC vuông tại A và có hai cạnh góc vuông là AB = 5 cm, AC = 12 cm.

Ta có: $\frac{HK}{AB}=\frac{\frac{17}{\sqrt{2}}}{5}=\frac{17}{5\sqrt{2}}$, $\frac{KC}{AC}=\frac{\frac{12}{\sqrt{2}}}{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Ta thấy $\frac{HK}{AB}\ne \frac{KC}{AC}$

Do đó tam giác HKC không đồng dạng với tam giác BAC.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 5: Tam giác đồng dạng

Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài 9: Hình đồng dạng

Bài 10: Hình đồng dạng trong thực tiễn