Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 3AC và điểm D thuộc cạnh AB sao cho AD = 2DB

Bài 42* trang 76 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 3AC và điểm D thuộc cạnh AB sao cho AD = 2DB. Chứng minh: $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=45°$.

Trả lời

Gọi E là trung điểm của AD nên AD = 2AE, AE = ED.

Mà AD = 2DB (giả thiết)

Suy ra AE = ED = DB

Do đó AB = AE + ED + BD = 3AE

Mà AB = 3AC (giả thiết) nên AE = AC hay AE = ED = DB = AC.

Đặt AE = x (x > 0).

Suy ra AE = ED = DB = AC = x, EB = 2x.

Xét ∆ACE vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

CE² = AC² + AE² = x² + x² = 2x²

Suy ra $CE=x\sqrt{2}.$

Ta có: $\frac{ED}{EC}=\frac{x}{x\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\frac{EC}{EB}=\frac{x\sqrt{2}}{2x}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên $\frac{ED}{EC}=\frac{EC}{EB}$

Xét ∆EDC và ∆ECB có:

$\widehat{CEB}$ là góc chung và $\frac{ED}{EC}=\frac{EC}{EB}$ (chứng minh trên)

Suy ra ∆EDC ᔕ ∆ECB (c.g.c).

Do đó $\widehat{ECD}=\widehat{EBC}$ (hai góc tương ứng)

Vì vậy $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=\widehat{EDC}+\widehat{EBC}=\widehat{EDC}+\widehat{ECD}$

Mặt khác, $\widehat{AEC}$ là góc ngoài tại đỉnh E của ∆CED nên $\widehat{AEC}=\widehat{EDC}+\widehat{ECD}$

Do đó $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=\widehat{AEC}.$

Lại có, do ∆AEC là tam giác vuông cân tại A nên $\widehat{AEC}=45°$

Vậy $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=45°$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 5: Tam giác đồng dạng

Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài 9: Hình đồng dạng

Bài 10: Hình đồng dạng trong thực tiễn