3) Gọi I là trung điểm của cạnh CD, G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao điểm K của IG và $\left( {OMN} \right)$. Tính tỉ số $\frac{{IK}}{{IG}}$.

*) Tìm giao điểm của IG với $\left( {OMN} \right)$.

+ Gọi P là trung điểm của AB. Dễ thấy $IG \subset \left( {SIP} \right)$.

+ Ta tìm giao tuyến của $\left( {SIP} \right)$ với $\left( {OMN} \right)$.

Vì I, P là trung điểm của CD, AB nên $O \in IP \subset \left( {SIP} \right)$.

Mà $O \in \left( {OMN} \right) \Rightarrow O \in \left( {SIP} \right) \cap \left( {OMN} \right)\;\;\left( 1 \right)$.

Trong $\left( {SCD} \right)$, gọi $H = SI \cap MN \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}H \in SI \subset \left( {SIP} \right)\\H \in MN \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow H \in \left( {SIP} \right) \cap \left( {OMN} \right)\;\;\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) suy ra $OH = \left( {SIP} \right) \cap \left( {OMN} \right)$.

+ Trong $\left( {SIP} \right)$, gọi $K = OH \cap IG$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}K \in OH \subset \left( {OMN} \right)\\K \in IG\end{array} \right. \Rightarrow K = IG \cap \left( {OMN} \right)$.

*) Tính $\frac{{IK}}{{IG}}$.

Trong $\Delta SCI$ có M là trung điểm SC và $MH//CI$ nên H là trung điểm của SI.

Trong $\Delta SIP$ có $\frac{{SH}}{{SI}} = \frac{1}{2}$ và $\frac{{PO}}{{PI}} = \frac{1}{2}$ nên $\frac{{SH}}{{SI}} = \frac{{PO}}{{PI}} = \frac{1}{2}$.

Theo định lý Ta – let ta có $OH//SP$ hay $OK//PG$.

Trong $\Delta IPG$ có O là trung điểm IP và $OK//PG$ nên K là trung điểm IO.

Vậy $\frac{{IK}}{{IG}} = \frac{1}{2}$.