Giải phương trình lượng giác sau: sin ^2( x/2) - 2cos ^2( x/4) + 3/4 = 0
Giải phương trình lượng giác sau: \[{\sin ^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) - 2{\cos ^2}\left( {\frac{x}{4}} \right) + \frac{3}{4} = 0\].
Phương pháp:
Sử dụng công thức hạ bậc \[{\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2};{\rm{ }}{\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\]
Cách giải:
\[{\sin ^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) - 2{\cos ^2}\left( {\frac{x}{4}} \right) + \frac{3}{4} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos x}}{2} - 2.\frac{{1 + \cos \frac{x}{2}}}{2} + \frac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow 2 - 2\cos x - 4 - 4\cos \frac{x}{2} + 3 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right) + 4\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{x}{2} + 4\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2}\left( {\cos \frac{x}{2} + 4} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \frac{x}{2} = 0\\\cos \frac{x}{2} + 4 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = \pi + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\].