Giải phương trình cos ^2x + sin 2x - 3sin ^2x = - 2.
a) Giải phương trình\[{\cos ^2}x + \sin 2x - 3{\sin ^2}x = - 2.\]
Phương pháp:
- TH1: Xét\[\cos x = 0.\]
- TH2: Xét\[\cos x \ne 0\]. Chia cả 2 vế cho\[{\cos ^2}x.\]
Cách giải:
\[{\cos ^2}x + \sin 2x - 3{\sin ^2}x = - 2 \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 2\sin x\cos x - {\cos ^2}x - 2 = 0.\]
TH1:\[\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow {\sin ^2}x = 1.\]
Khi đó phương trình trở thành \[3 - 2 - 0 - 2 = - 1\](Vô nghiệm).
TH2: \[\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]. Chia cả hai vế phương trình cho \[{\cos ^2}x\]ta được:
\[3{\tan ^2}x - 2\tan x - 1 - 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0 \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 2\tan x - 3 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\tan x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan 3 + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]