Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{3}{{{{\sin }^2}x}} - 2\sqrt 3 \cot x - 6 = 0\)

Phương pháp:

- Tìm ĐKXĐ

- Sử dụng công thức \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\), biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với \(\cot x\).

Cách giải:

ĐKXĐ: \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\)

Ta có:

\(\frac{3}{{{{\sin }^2}x}} - 2\sqrt 3 \cot x - 6 = 0 \Leftrightarrow 3\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) - 2\sqrt 3 \cot x - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3{\cot ^2}x - 2\sqrt 3 \cot x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = \sqrt 3 \\\cot x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\) (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\,\).