Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x\] là

Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng công thức \[{\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\] và \[\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a\sin b\]

Sử dụng \[ - 1 \le \cos \le 1\]

Cách giải:

Ta có \[y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x = 2.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + \sin 2x = 1 + \cos 2x + \sin 2x\]

\[ \Rightarrow \frac{y}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos 2x\cos \frac{\pi }{4} + \sin 2x.\sin \frac{\pi }{4} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\]

Ta có \[\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]

Hay \[\frac{y}{{\sqrt 2 }} \ge - 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow y \ge 1 - \sqrt 2 \]

Dấu “=” xảy ra khi \[\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = - \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3\pi }}{8} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là \[1 - \sqrt 2 \].