Giá trị của tích phân I = limits 0^1 x^2 căn bậc hai của 1 - x^2 dx là A. pi /2 B. pi /16 C. pi /4 D. pi /8
40
19/04/2024
Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {1 - {x^2}} dx} \) là
A. \(\frac{\pi }{2}.\)
B. \(\frac{\pi }{{16}}.\)
C. \(\frac{\pi }{4}.\)
D. \(\frac{\pi }{8}.\)
Trả lời
Hướng dẫn giải
Đặt \(x = \sin t \Rightarrow dx = \cos tdt.\)
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\end{array} \right..\)
\(I = \int\limits_0^{\pi /2} {{{\sin }^2}t.\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} \cos tdt} \)
\( = \int\limits_0^{\pi /2} {{{\sin }^2}t{{\cos }^2}tdt} \)
\( = \frac{1}{8}\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {1 - \cos 4t} \right)dt = \frac{\pi }{{16}}.} \)
Chọn B.
