Giá trị của I = limits căn bậc hai của 5 ^2 căn bậc hai của 3 1/x căn bậc hai của x^2 + 4dx là A. I = 1/4 ln 3/5 B. I = 1/4ln 5/3 C. I = 1/2ln 5/3
43
19/04/2024
Giá trị của \(I = \int\limits_{\sqrt 5 }^{2\sqrt 3 } {\frac{1}{{x\sqrt {{x^2} + 4} }}dx} \) là
A. \(I = \frac{1}{4}\ln \frac{3}{5}.\)
B. \(I = \frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}.\)
C. \(I = \frac{1}{2}\ln \frac{5}{3}.\)
D. \(I = \frac{1}{2}\ln \frac{3}{5}.\)
Trả lời
Hướng dẫn giải
Đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 4} \Rightarrow {x^2} = {u^2} - 4\) nên \(xdx = udu\)
Đổi cận
|
x
|
\(\sqrt 5 \)
|
\(2\sqrt 3 \)
|
|
u
|
3
|
4
|
Khi đó \(I = \int\limits_{\sqrt 5 }^{2\sqrt 3 } {\frac{1}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 4} }}.xdx} \) nên \(I = \int\limits_3^4 {\frac{1}{{\left( {{u^2} - 4} \right)u}}.udu} = \int\limits_3^4 {\frac{1}{{{u^2} - 4}}du.} \)
Suy ra \(I = \frac{1}{4}\int\limits_3^4 {\left( {\frac{1}{{u - 2}} - \frac{1}{{u + 2}}} \right)du = \frac{1}{4}\left( {\ln \left| {u - 2} \right| - \ln \left| {u + 2} \right|} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle3}^{\scriptstyle4\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}.} \)
Chọn B.
