Giá trị của I = limits 0^1 x/x^4 + x^2 + 1 dx là A. I = pi căn bậc hai của 3 /4 B. I = pi căn bậc hai của 3 /6 C. I = pi căn bậc hai của 3 /18 D. I = pi căn bậc hai của 3 /12
32
19/04/2024
Giá trị của \(I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{{x^4} + {x^2} + 1}}dx} \) là
A. \(I = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{4}.\)
B. \(I = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{6}.\)
C. \(I = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{18}}.\)
D. \(I = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{12}}.\)
Trả lời
Hướng dẫn giải
Đột biến lần 1: (Dạng 1)
Đặt \(u = {x^2} \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}du.\)
Đổi cận
Suy ra \(I = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{u^2} + u + 1}}} du = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{{\left( {u + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}du.} \)
Đổi biến lần 2: (Dạng 2)
Đặt \(u + \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\tan t.\) Ta có \(du = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\)
Đổi cận
|
x
|
0
|
1
|
|
u
|
\(\frac{\pi }{6}\)
|
\(\frac{\pi }{3}\)
|
Khi đó \(I = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {dt} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{18}}.\)
Chọn C.
