Suy ra $I = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{u^2} + u + 1}}} du = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{{\left( {u + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}du.}$

Đổi biến lần 2: (Dạng 2)

Đặt $u + \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\tan t.$ Ta có $du = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt$

Đổi cận

Khi đó $I = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {dt} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{18}}.$

Chọn C.