Giá trị của I = limits 0^1/2 căn bậc hai của 1 - x^2 dx là A. pi /12 + căn bậc hai của 3 /8 B. pi /12 - căn bậc hai của 3 /8
37
19/04/2024
Giá trị của \(I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \) là
A. \(\frac{\pi }{{12}} + \frac{{\sqrt 3 }}{8}.\)
B. \(\frac{\pi }{{12}} - \frac{{\sqrt 3 }}{8}.\)
C. \(\frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\)
D. \(\frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\)
Trả lời
Hướng dẫn giải
Đặt \(x = \sin t \Rightarrow dx = \cos tdt.\)
Đổi cận \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\end{array} \right.\]
Khi đó \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} .\cos tdt} \)
\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {{{\cos }^2}t.dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {1 + \cos 2t} \right).dt} \)
\( = \frac{1}{2}\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{6}}} \right. = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right).\)
Chọn A.
