Giá trị của I = limits 0^ căn bậc hai của 2 /2 x^2 căn bậc hai của 1 - x^2 dx là A. I = pi /8 - 1/4 B. I = pi /4 - 1/8 C. I = pi /3 - 1/4 D. I = pi/8 - 1/2
36
19/04/2024
Giá trị của \(I = \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} \) là
A. \(I = \frac{\pi }{8} - \frac{1}{4}.\)
B. \(I = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{8}.\)
C. \(I = \frac{\pi }{3} - \frac{1}{4}.\)
D. \(I = \frac{\pi }{8} - \frac{1}{2}.\)
Trả lời
Hướng dẫn giải
Đặt \(x = \sin t \Rightarrow dx = \cos tdt\).
Đổi cận
|
x
|
0
|
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
|
|
u
|
0
|
\(\frac{\pi }{4}\)
|
Khi đó \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{{{\sin }^2}t.\cos t}}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} }}dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}tdt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt} \)
\( = \frac{1}{2}\left( {t - \frac{1}{2}\sin 2t} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{4}}} \right. = \frac{\pi }{8} - \frac{1}{4}.\)
Chọn A.
