cos ( 7pi /2 - 2x) - căn bậc hai của 3 cos ( 2x - 3pi ) + 2cos x/1 - 2sin x = 0

Trả lời

Phương pháp:

- Tìm ĐKXĐ

- Biến đổi phương trình về phương trình cơ bản để giải.

Cách giải:

ĐKXĐ: \(1 - 2\sin x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x \ne \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\).

Khi đó:

\[\frac{{\cos \left( {\frac{{7\pi }}{2} - 2x} \right) - \sqrt 3 \cos \left( {2x - 3\pi } \right) + 2\cos x}}{{1 - 2\sin x}} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {3\pi + \frac{\pi }{2} - 2x} \right) - \sqrt 3 \cos \left( {2x - 3\pi } \right) + 2\cos x = 0\]

\[ \Leftrightarrow - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + \sqrt 3 \cos 2x + 2\cos x = 0\]

\[ \Leftrightarrow - \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x + 2cosx = 0\]

\[ \Leftrightarrow \sin 2x - \sqrt 3 \cos 2x = 2\cos x\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x = \cos x\]

\[ \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{6}.\sin 2{\rm{x}} - \cos \frac{\pi }{6}.\cos 2x = \cos x\]

\[ \Leftrightarrow - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos x \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{{5\pi }}{6}} \right) = \cos x\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{{5\pi }}{6} = x + k2\pi \\2x - \frac{{5\pi }}{6} = - x + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\]

Kết hợp ĐKXĐ, suy ra: Phương trình đã cho có nghiệm \[x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\].