Đáp án C

Phương pháp:

+ Đặt $t = \sin x - \sqrt 3 \cos x$, tìm khoảng giá trị của $t$.

+ Đưa hàm số về ẩn $t$ trên miền giá trị đã xác định được, lập BBT và kết luận.

Cách giải:

$y = \sqrt {{{\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right)}^2} - 2\sin x + 2\sqrt 3 \cos x - m + 3}$

$y = \sqrt {{{\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right)}^2} - 2\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right) - m + 3}$

+ Đặt $t = \sin x - \sqrt 3 \cos x = 2\left( {\frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) = 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \Rightarrow - 2 \le t \le 2$

Khi đó hàm số trở thành $y = \sqrt {{t^2} - 2t - m + 3} \,\,\forall t \in \left[ { - 2;2} \right]\,\,\left( * \right)$.

+ Để hàm số ban đầu xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì hàm số xác định với mọi $t \in \left[ { - 2;2} \right]$.

Tức là ${t^2} - 2t - m + 3 \ge 0\,\,\forall t \in \left[ { - 2;2} \right]$.

+ Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^2} - 2t - m + 3$ trên $\left[ { - 2;2} \right]$ ta có BBT:

Để ${t^2} - 2t - m + 3 \ge 0\,\,\forall t \in \left[ { - 2;2} \right]$ thì $2 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2$.

Mà $m$ nguyên dương          $\Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}$.

Chú ý: Cần xác định chính xác khoảng giá trị của $t$.