Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2 loh 2 (x - 3) + (2m + 5) log căn bậc hai x - 3 2 = 2m có hai nghiệm

A. 1

B. 4

C. 2

D. 4

Trả lời

Chọn B

$2{\log }_2\left(x-3\right)+\left(2m+5\right){\log }_{\sqrt{x-3}}2=2m\left(1\right)$

Điều kiện: $3<x\ne 4$

$\left(1\right)\iff {\log }_{{}_2}^2\left(x-3\right)-m{\log }_2\left(x-3\right)+\left(2m+5\right)=0\left(2\right)$

Đặt $t={\log }_2\left(x-3\right)$; $x\in \left(3;5\right)\backslash \left\{4\right\}\Rightarrow t\in \left(-\infty ;1\right)\backslash \left\{0\right\}$

Thay t vào (2) ta được: $t^2-mt+\left(2m+5\right)=0\left(3\right)$.

Phương trình (1) có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<x_2<5$

<=> (3) có hai nghiệm phân biệt $t_1,t_2$ thỏa mãn $t_1,t_2\in \left(-\infty ;1\right)\backslash \left\{0\right\}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta =m^2-8m-20>0\\ 1.f\left(1\right)=m+6>0\\ f\left(0\right)=2m+5\ne 0\\ \frac{S}{2}=\frac{m}{2}<1\end{array}\right.$, với $f\left(t\right)=t^2-mt+\left(2m+5\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left(10;+\infty \right)\\ m\in \left(-6;2\right)\\ m\ne -\frac{5}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-6;-2\right)\\ m\ne -\frac{5}{2}\end{array}\right.$