Có bao nhiêu giá trị của x để biểu thức\[{\rm{A = }}\frac{{\rm{3}}}{{{\rm{x}} - {\rm{3}}}} - \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{4}} - {{\rm{x}}^{\rm{2}}}}} - \frac{{{\rm{4x}} - {\rm{12}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}} - {\rm{3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - {\rm{4x + 12}}}}\] có giá trị là một số nguyên?

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3 \ne 0}\\{4 - {x^2} \ne 0}\\{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 3}\\{x \ne \pm 2}\end{array}} \right.\)

\[{\rm{A = }}\frac{{\rm{3}}}{{{\rm{x}} - {\rm{3}}}} - \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{4}} - {{\rm{x}}^{\rm{2}}}}} - \frac{{{\rm{4x}} - {\rm{12}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}} - {\rm{3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - {\rm{4x + 12}}}}\]

\[ = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{4}} - {{\rm{x}}^{\rm{2}}}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^2}\left( {x - 3} \right) - 4\left( {x - 3} \right)}}\]

\[ = \frac{3}{{x - 3}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{4x - 12}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{3\left( {{x^2} - 4} \right) + {x^2}\left( {x - 3} \right) - \left( {4x - 12} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\]

\[ = \frac{{3{x^2} - 12 + {x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^3} - 4x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}} = \frac{{x\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\]

\[ = \frac{x}{{x - 3}} = 1 + \frac{3}{{x - 3}}\]

Để \[{\rm{A}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{3}{{{\rm{x}} - 3}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {{\rm{x}} - 3} \right) \in {\rm{U}}\left( 3 \right) = \left\{ { \pm \,1;\,\, \pm 3} \right\}\].

Ta có bảng sau:

x – 3	–3	–1	1	3
x	0 (TM)	2 (KTM)	4 (TM)	6 (TM)

Vậy có 3 giá trị của x để biểu thức A có giá trị là một số nguyên.