Chứng minh rằng: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau

Bài 9.21 trang 76 Toán 7 Tập 2: Chứng minh rằng:

a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Trả lời

Giả sử $∆$ABC cân tại A có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a) Do $∆$ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất tam giác cân).

Vì M là trung điểm của AB nên AM = $\frac{1}{2}$AB;

Vì N là trung điểm của AC nên AN = $\frac{1}{2}$AC.

Mà AB = AC nên AM = AN

Xét $∆$ANB và $∆$AMC có:

AM = AN (chứng minh trên).

$\widehat{BAC}$ là góc chung

AB = AC (chứng minh trên).

Suy ra $∆$ANB = $∆$AMC (c.g.c).

Do đó BN = MC (hai cạnh tương ứng).

Vậy trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Giả sử $∆$ABC có hai trung tuyến CM, BN bằng nhau và cắt nhau tại G.

Vì G là giao điểm của hai đường trung tuyến BN và CM của tam giác ABC nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Do đó CG = $\frac{2}{3}$CM, BG = $\frac{2}{3}$BN.

Mà CM = BN (giả thiết) nên CG = BG.

$∆$BGC có CG = BG nên $∆$BGC cân tại G.

Suy ra $\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$ (tính chất tam giác cân)

Xét $∆$BMC và $∆$CNB có:

MC = NB (theo giả thiết),

$\widehat{MCB}=\widehat{NBC}$ (do $\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$),

BC là cạnh chung.

Do đó $∆$BMC = $∆$CNB (c.g.c).

Suy ra $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ (hai góc tương ứng).

DABC có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $∆$ABC cân tại A.

Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Luyện tập chung trang 71

Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến. Ba đường phân giác trong một tam giác

Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Luyện tập chung trang 83

Bài tập cuối chương 9