Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Tính xác suất của các biến cố

Bài 12 trang 98 Toán 11 Tập 2: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Tính xác suất của các biến cố:

A: "Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 7";

B: "Số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn".

Trả lời

Dãy các số tự nhiên có 3 chữ số là 100; 101; 102; …; 999.

Có tất cả $\frac{999-100}{1}+1=900$ số có ba chữ số.

+) Gọi biến cố C “Số được chọn chia hết cho 2” và biến cố D “Số được chọn chia hết cho 7”.

Biến cố CD “Số được chọn chia hết cho cả 2 và 7”.

Biến cố C ∪ D “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 7”.

Khi đó P(C ∪ D) = P(C) + P(D) – P(CD).

Dãy các số có ba chữ số chia hết cho 2 là 100; 102; …; 998.

Có tất cả $\frac{998-100}{2}+1=450$ số có ba chữ số chia hết cho 2.

Do đó $P\left(C\right)=\frac{450}{900}=\frac{1}{2}$.

Dãy các số có ba chữ số chia hết cho 7 là 105; 112; 119; …; 994.

Có tất cả $\frac{994-105}{7}+1=128$ số có ba chữ số chia hết cho 7.

Do đó $P\left(D\right)=\frac{128}{900}=\frac{32}{225}$.

Dãy các số có ba chữ số chia hết cho 2 và 7 là 112; 126; 140; …; 994.

Có tất cả $\frac{994-112}{14}+1=64$ số có ba chữ số chia hết cho 2 và 7.

Do đó P(CD) = $\frac{64}{900}=\frac{16}{225}$.

Suy ra $P\left(C\cup D\right)=\frac{1}{2}+\frac{32}{225}-\frac{16}{225}=\frac{257}{450}$.

Vậy xác suất để số được chọn chia hết cho 2 hoặc 7 là $\frac{257}{450}$.

+) Gọi biến cố E “Số được chọn có ba chữ số chẵn” và biến cố F “Số được chọn có 1 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ”.

Biến cố E $\cup$ F “Số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn”.

Vì E và F xung khắc nên P(E $\cup$ F) = P(E) + P(F).

Gọi số có ba chữ số chẵn có dạng $\overline{abc}$ được lập từ các số {0; 2; 4; 6; 8}.

Khi đó ta có 4 cách chọn a, 5 cách chọn b và 5 cách chọn c. Do đó có 4 × 5 × 5 = 100 cách chọn số có ba chữ số chẵn.

Do đó $P\left(E\right)=\frac{100}{900}=\frac{1}{9}$.

Gọi số có ba chữ số có 1 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ có dạng $\overline{abc}$ được lập từ các số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Nếu a là số chẵn, b, c là số lẻ thì có 4 × 5 × 5 = 100 cách chọn.

Nếu a là số lẻ, b là số chẵn, c là số lẻ thì có 5 × 5 × 5 = 125 cách chọn.

Nếu a là số lẻ, b là số lẻ và c là số chẵn thì có 5 × 5 × 5 = 125 cách chọn.

Do đó có 100 + 125 + 125 = 350 cách chọn số có ba chữ số có 1 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.

Suy ra $P\left(F\right)=\frac{350}{900}=\frac{7}{18}$.

Do đó $P\left(E\cup F\right)=\frac{1}{9}+\frac{7}{18}=\frac{1}{2}$.

Vậy xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn là $\frac{1}{2}$ .

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: