Cho Hình 106. Chứng minh: a) AH^2 = AB.AI = AC.AK; b) Góc AIK = góc ACH

Bài 9 trang 95 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 106. Chứng minh:

a) AH² = AB.AI = AC.AK;

b) $\widehat{\mathrm{AIK}}=\widehat{\mathrm{ACH}}.$

Trả lời

a) Xét ∆AHI và ∆ABH có:

$\widehat{\mathrm{AIH}}=\widehat{\mathrm{AHB}}=90°;$ $\widehat{\mathrm{BAH}}$  là góc chung

Suy ra ∆AHI ᔕ ∆ABH (g.g)

Do đó $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AH}}$  (tỉ số đồng dạng)

Nên AH² = AB.AI (1)

Xét ∆AHK và ∆ACH có:

$\widehat{\mathrm{AKH}}=\widehat{\mathrm{AHC}}=90°;$ $\widehat{\mathrm{HAC}}$  là góc chung

Suy ra ∆AHK ᔕ ∆ACH (g.g)

Do đó $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{AH}}$  (tỉ số đồng dạng)

Nên AH² = AC.AK (2)

Từ (1) và (2), suy ra AH² = AB.AI = AC.AK.

b) Ta có: AB.AI = AC.AK (câu a) suy ra $\frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AC}}$

Xét ∆AIK và ∆ACB có:

$\widehat{\mathrm{BAC}}$ là góc chung; $\frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AC}}$ .

Suy ra ∆AIK ᔕ ∆ACB (c.g.c)

Do đó $\widehat{\mathrm{AIK}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$  (hai góc tương ứng).

Vậy $\widehat{\mathrm{AIK}}=\widehat{\mathrm{ACH}}.$

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài 9: Hình đồng dạng

Bài 10: Hình đồng dạng trong thực tiễn

Bài tập cuối chương 8

Chủ đề 3: Thực hành đo chiều cao