Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, BC, AN
715
05/12/2023
Bài 5 trang 94 Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, BC, AN và Q là giao điểm của AN và DM. Chứng minh:
a) MP // AD, MP=14AD;
b) AQ=25AN;
c) Gọi R là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm M, P, R thẳng hàng và PR=34AD.
Trả lời

a) Do N là trung điểm của BC nên BN=12BC
Và ABCD là hình bình hành nên BC = AD, BC // AD
Suy ra BN=12AD,BN // AD (1)
Xét ∆ABN có M, P lần lượt là trung điểm của AB, AN nên MP là đường trung bình của ∆ABN
Suy ra MP=12BN và MP // BN (2)
Từ (1) và (2) ta có MP=12BN=12⋅12AD=14AD và MP // AD.
Vậy MP // AD và MP=14AD. (3)
b) Xét ∆ADQ với MP // AD, ta có ADMP=QAQP (hệ quả của định lí Thalès)
Hay AD14AD=AQPQ nên AQPQ=41
Suy ra AQPQ+AQ=41+4 hay AQAP=45
Mà P là trung điểm của AN nên AP=12AN
Do đó AQ12AN=45, suy ra AQ=45⋅12AN=25AN.
Vậy AQ=25AN.
c) Gọi K là trung điểm của DN.
Xét ∆AND có P, K lần lượt là trung điểm của AN, DN nên PK là đường trung bình của ∆AND. Do đó PK // AD và PK=12AD (4)
Tương tự, xét ∆CDN có KR là đường trung bình của ∆CDN nên KR // CN và KR=12CN
Mà N là trung điểm của BC nên CN=12BC=12AD và BC // AD
Do đó KR // AD và KR=12CN=12⋅12AD=14AD (5)
Từ (3), (4) và (5), theo tiên đề Euclid ta có: M, P, K, R thẳng hàng.
Và PR=PK+KR=12AD+14AD=34AD.
Vậy ba điểm M, P, R thẳng hàng và PR=34AD.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Cánh Diều hay, chi tiết khác:
Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác
Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác
Bài 9: Hình đồng dạng
Bài 10: Hình đồng dạng trong thực tiễn
Bài tập cuối chương 8
Chủ đề 3: Thực hành đo chiều cao