Cho ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ với tỉ số đồng dạng k. a) Gọi AM, AM’ lần lượt là các đường trung tuyến

Bài 6 trang 95 Toán 8 Tập 2: Cho ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ với tỉ số đồng dạng k.

a) Gọi AM, AM’ lần lượt là các đường trung tuyến của ∆ABC và ∆A’B’C’. Chứng minh ∆ABM ᔕ ∆A’B’M’ và $\frac{\mathrm{AM}}{A^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}=k.$

b) Gọi AD, AD’ lần lượt là các đường phân giác của ∆ABC và ∆A’B’C’.

Chứng minh ∆ABD ᔕ ∆A’B’D’ và $\frac{\mathrm{AD}}{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=k.$

c) Gọi AH, AH’ lần lượt là các đường cao của các tam giác nhọn ABC, A’B’C’. Chứng minh ∆ABH ᔕ ∆A’B’H’ và $\frac{\mathrm{AH}}{A^{\text{'}}{H}^{\text{'}}}=k.$

Trả lời

Vì ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’với tỉ số đồng dạng k nên ta có:

$\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{BC}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AC}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=k$ và $\widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}},\hat{B}=\widehat{B^{\text{'}}},\hat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}.$

a) Vì M, M’ lần lượt là trung điểm của BC, B’C’ nên $\mathrm{BM}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$  và $B^{\text{'}}{M}^{\text{'}}=\frac{1}{2}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$

Suy ra $\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{BC}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{BM}}{B^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}=k$

Xét ∆ABM và ∆A’B’M’ có: $\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{BM}}{B^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}=k$  và $\hat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$

Suy ra ∆ABM ᔕ ∆A’B’M’ (c.g.c)

Do đó $\frac{\mathrm{AM}}{A^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=k$  (tỉ số đồng dạng).

b) Vì AD, AD’ lần lượt là các đường phân giác của tam giác ABC, A’B’C’ nên $\widehat{\mathrm{BAD}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{BAC}}$  và $\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$

Mà $\widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  nên $\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$

Xét ∆ABD và ∆A’B’D’ có: $\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$  và $\hat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$

Do đó ∆ABD ᔕ ∆A’B’D’ (g.g) 

Suy ra $\frac{\mathrm{AD}}{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=k$  (tỉ số đồng dạng).

c) Vì AH, AH’ lần lượt là các  đường cao của tam giác ABC, A’B’C’ nên $\widehat{\mathrm{AHB}}=\widehat{A^{\text{'}}{H}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=90°$

Xét ∆ABH và ∆A’B’H’ có: $\widehat{\mathrm{AHB}}=\widehat{A^{\text{'}}{H}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=90°$  và $\hat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$

Do đó ∆ABH ᔕ ∆A’B’H’ (g.g)

Suy ra $\frac{\mathrm{AH}}{A^{\text{'}}{H}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=k$  (tỉ số đồng dạng).

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài 9: Hình đồng dạng

Bài 10: Hình đồng dạng trong thực tiễn

Bài tập cuối chương 8

Chủ đề 3: Thực hành đo chiều cao