Đáp án B
Phương pháp
Tính độ dài các đoạn GA, GD, AD rồi nhận xét tính chất tam giác GAD.
Cách giải
Tam giác ACD có \[AC = CD = a,AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] nên \[A{E^2} = \frac{{A{C^2} + A{D^2}}}{2} - \frac{{C{D^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}\].
Tam giác BCD đều \[ \Rightarrow BE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
Tam giác ABE có EM là đường trung tuyến của tam giác AEB nên:
\[E{M^2} = \frac{{E{A^2} + E{B^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{7{a^2}}}{{16}}\].
Xét tam giác BME và bộ ba điểm A, G, O thẳng hàng có: \[\frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{OB}}{{OE}}.\frac{{GE}}{{GM}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}.2.\frac{{GE}}{{GM}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{GE}}{{GM}} = 1\] hay G là trung điểm của ME.
Xét tam giác ABD có DM là trung tuyến của \[\Delta ABD\] nên \[D{M^2} = \frac{{D{A^2} + B{D^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}\].
Tam giác DME có trung tuyến DG nên \[D{G^2} = \frac{{D{E^2} + D{M^2}}}{2} - \frac{{M{E^2}}}{4} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{5{a^2}}}{8}}}{2} - \frac{{7{a^2}}}{{64}} = \frac{{21{a^2}}}{{64}}\].
Lại có: \[\begin{array}{l}\cos AEM = \frac{{A{E^2} + E{M^2} - A{M^2}}}{{2.AE.EM}} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{7{a^2}}}{{16}} - \frac{{{a^2}}}{4}}}{{2.\sqrt {\frac{{5{a^2}}}{8}.\frac{{7{a^2}}}{{16}}} }} = \frac{{13}}{{2\sqrt {70} }}\\ \Rightarrow A{G^2} = A{E^2} + E{G^2} - 2AE.EG.\cos AEG = \frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{7{a^2}}}{{64}} - 2.\sqrt {\frac{{5{a^2}}}{8}.\frac{{7{a^2}}}{{64}}} .\frac{{13}}{{2\sqrt {70} }} = \frac{{21{a^2}}}{{64}}\end{array}\]
Tam giác ADG có \[A{G^2} = \frac{{21{a^2}}}{{64}},A{D^2} = \frac{{3{a^2}}}{4},D{G^2} = \frac{{21{a^2}}}{{64}}\].
Do đó \[\Delta GAD\] cân tại G.
Gọi H là trung điểm của AD thì \[AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4},G{H^2} = G{A^2} - A{H^2} = \frac{{21{a^2}}}{{64}} - \frac{{3{a^2}}}{{16}} = \frac{{9{a^2}}}{{64}} \Rightarrow GH = \frac{{3a}}{8}\].
Diện tích tam giác \[{S_{GAD}} = \frac{1}{2}.GH.AD = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{8}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}\].
