Cho tam giác vuông OAB với A = (a; 0) và B = (0; 1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h.

a) Tính h theo a.

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

Lời giải:

a) Ta có: A = (a; 0) ⇒ OA = a; B = (0; 1) ⇒ OB = 1

Tam giác OAB vuông tại O có đường cao OH nên ta có

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\)

Do đó, \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}}\)\( \Rightarrow h = \) \(\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 1}}} \) \( = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\).

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, ta có OA = a = 0, suy ra h = 0, do đó điểm H dịch chuyển về điểm O.

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, ta có OA = a ⟶ +∞.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } h = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 1}}} \)\[ = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{a^2}\left( {1 + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)}}} \]\( = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } \sqrt {\frac{1}{{1 + \frac{1}{{{a^2}}}}}} = 1\).

Do đó, điểm H dịch chuyển về điểm B.