Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, có hai đường phân giác AD, BE cắt nhau tại O

ài 21 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, có hai đường phân giác AD, BE cắt nhau tại O. Tính:

a) Độ dài các đoạn thẳng AE, EC;

b) Khoảng cách từ O đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD (theo đơn vị centimét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười);

d) Diện tích tam giác DOE.

Trả lời

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, có hai đường phân giác AD

a) Xét ∆ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore, ta có:

BC2 = AC2 + AB2 = 62 + 82 = 100, suy ra BC = 10 (cm).

Xét ∆ABC có BE là phân giác góc ABC nên EAEC=BABC=810=45 (tính chất đường phân giác).

Suy ra AE4=EC5=AE+EC4+5=AC9=69=23

Vậy AE=423=83 (cm); EC=523=103 (cm).

b) Kẻ OH ⊥ AC tại H. Khi đó khoảng cách từ O đến đường thẳng AC là độ dài đoạn thẳng OH.

Ta có OH ⊥ AC, AB ⊥ AC nên OH // AB.

Xét ∆ABE với OH // AB, ta có: HOAB=EOEB (định lí Thalès) (1).

Xét ∆AEB có AO là phân giác của góc CAB nên OEOB=AEAB=838=13 (tính chất đường phân giác)

Suy ra OEOB+OE=13+1 hay EOEB=14 (2).

Từ (1) và (2) ta có HOAB=14, suy ra OH=14AB=148=2 (cm).

c) Kẻ DK ⊥ AC, DI ⊥ AB, suy ra DKA^=DIA^=90°.

Tứ giác AKDI có DKA^=DIA^=KAI^=90° nên AKDI là hình chữ nhật

Lại có đường chéo AD là phân giác KAI^ nên AKDI là hình vuông.

Suy ra AK = DK = DI.

Ta có S∆ABC = S∆ADC + S∆ADB nên ACAB2=ACDK2+ABDI2

Hay AC.AB = AC.DK + AB.DI = (AB + AC).DK (do DK = DI).

Từ đó, ta có: DK=ABACAB+AC=868+6=4814=247.

Xét ∆AKC vuông tại K có AD2 = AK2 + DK2 (định lí Pythagore)

Suy ra AD2 = AK2 + DK2 = DK2 + DK2 = 2DK2

Do đó AD=DK2=24274,8 (cm).

d) Ta có: SΔABC=12ACAB=1268=24 (cm2).

Mà SΔBCESΔBAC=12BAEC12BAAC=ECAC=103:6=59

Do đó SΔBCE=59SΔBAC=5924=403 (cm2).

Tương tự, ta có: SΔBDESΔBCE=DBCB

Xét ∆ABC có AD là đường phân giác của góc CAB nên DBDC=ABAC (tính chất đường phân giác)

Suy ra DBDC+DB=ABAC+AB hay DBCB=88+6=814=47

Nên SΔBDESΔBCE=DBCB=47.

Suy ra SΔBDE =47SΔBCE=47403=16021 (cm2)

Lại có SΔODESΔBDE=OEBE=14

Suy ra SΔDOE=14SΔBDE=1416021=4021 (cm2).

Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả