Cho tam giác ABC và G là trọng tâm tam giác. Với mỗi điểm M, chứng minh MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2

Bài 65 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm tam giác. Với mỗi điểm M, chứng minh MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Trả lời

Ta có: MA² + MB² + MC² = ${\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2$

= ${\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)}^2$

= ${\overrightarrow{MG}}^2+2.\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{MG}}^2$$+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{MG}}^2$$+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}+{\overrightarrow{GC}}^2$

= $3{\overrightarrow{MG}}^2+\left({\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2\right)+$$\left(2.\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}\right)$

= $3M{G}^2+\left(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2\right)$$+2.\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)$

= $3M{G}^2+\left(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2\right)$.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài ôn tập chương 4

Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp