Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BM, CN cắt nhau tại H

Bài 15 trang 86 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BM, CN cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng ΔAMN ᔕ ΔABC.

b) Phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$ cắt MN và BC lần lượt tại I và K. Chứng minh rằng  $\frac{\mathrm{IM}}{\mathrm{IN}}=\frac{\mathrm{KB}}{\mathrm{KC}}$.

Trả lời

a) Xét tam giác vuông ABM và ACN có:

$\hat{\mathrm{A}}$ chung

Suy ra ΔABM ᔕ ΔACN (g.g)

Nên $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AN}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ hay $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}$

Xét tam giác AMN và ABC ta có:

$\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}$

$\hat{\mathrm{A}}$ chung

Suy ra ΔAMN ᔕ ΔABC (c.g.c).

b) ΔAMN ᔕ ΔABC, AK là phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$

Suy ra $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AK}}$

Xét tam giác AIM và AKB ta có:

$\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AK}}$

$\widehat{\mathrm{IAM}}=\widehat{\mathrm{IAN}}$ (vì AK là phân giác $\widehat{\mathrm{BAC}}$ )

Suy ra ΔAIM ᔕ ΔAKB nên $\frac{\mathrm{IM}}{\mathrm{KB}}=\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AK}}$ (1)

Xét tam giác AIN và AKC ta có:

$\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AK}}$

$\widehat{\mathrm{IAM}}=\widehat{\mathrm{IAN}}$ (vì AK là phân giác $\widehat{\mathrm{BAC}}$ )

Suy ra ΔAIN ᔕ ΔAKC nên $\frac{\mathrm{IN}}{\mathrm{KC}}=\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AK}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{\mathrm{IM}}{\mathrm{KB}}=\frac{\mathrm{IN}}{\mathrm{KC}}$ hay  $\frac{\mathrm{IM}}{\mathrm{IN}}=\frac{\mathrm{KB}}{\mathrm{KC}}$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Bài 4: Hai hình đồng dạng

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Mô tả xác suất bằng tỉ số

Bài 2: Xác suất lí thuyết và xác suất thực nghiệm

Bài tập cuối chương 9