Cho tam giác ABC có góc B = 15°, góc C = 30° và c = 2. a) Tính số đo góc A và độ dài các cạnh a, b

Bài 3.45 trang 44 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=15°,\widehat{C}=30°$ và c = 2.

a) Tính số đo góc A và độ dài các cạnh a, b.

b) Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

c) Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho $\widehat{BCD}=\widehat{DCA}$ (tức CD là phân giác của góc $\widehat{ BCA}$). Tính độ dài CD.

Trả lời

a) Xét tam giác ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C} \\ =180°-15°-30°=135° \end{gathered}$$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

Vậy $\widehat{A}=135°,a=2\sqrt{2}$ và b = $\sqrt{6}-\sqrt{2}.$

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC ta có:

• $$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}.ab.\sin C \\ =\frac{1}{2}.2\sqrt{2}.\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right).\sin 30° \\ =\sqrt{3}-1. \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} S=\frac{abc}{4R} \\ \Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{2\sqrt{2}.\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right).2}{4.\left(\sqrt{3}-1\right)}=2. \end{gathered}$$

Vậy diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC lần lượt là $S=\sqrt{3}-1$ và R = 2.

c)

Vì CD là tia phân giác của $\widehat{ BCA}$ nên $\widehat{BCD}=\widehat{DCA}=\frac{1}{2}\widehat{ BCA}=15°$

Mà $\widehat{B}=15°$

Do đó tam giác BCD cân tại D.

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

$\Rightarrow$IB = IC = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}=\sqrt{2}$ và DI ⊥ BC.

Xét tam giác CDI vuông tại I ta có:

CD = $\frac{CI}{cos\widehat{ICD}}=\frac{\sqrt{2}}{cos15°}=2\left(\sqrt{3}-1\right).$

Vậy CD = $2\left(\sqrt{3}-1\right).$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 9: Tích của một vectơ với một số