Cho sin15° = ( căn 6 - căn 2) / 4  a) Tính sin75°, cos105°, tan165°. b) Tính giá trị của biểu thức

Bài 3.39 trang 43 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho sin15° = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

a) Tính sin75°, cos105°, tan165°.

b) Tính giá trị của biểu thức:

A = sin75°. cos165° + cos105°. sin165°.

Trả lời

Vì 0° < 15° < 90° nên cos15° > 0.

Ta có sin²15° + cos²15° = 1

Do đó:

tan15° = $\frac{\sin 15°}{cos15°}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}:\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

$$\begin{gathered} =\frac{{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}^2}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)} \\ =\frac{8-4\sqrt{3}}{4}=2-\sqrt{3} \end{gathered}$$

a) Ta có:

• sin75° = sin(90° – 15°) = cos15° = $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4};$

• cos105° = cos(180° – 75°) = –cos75°

= –cos(90° – 15°) = –sin15°

$\Rightarrow$ cos105° = $-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}.$

• tan165° = tan(180° – 15°) = –tan15°

$\Rightarrow$ tan165° = $-2+\sqrt{3}.$

Vậy sin75° = $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4};$ cos105° = $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ và tan165° = $-2+\sqrt{3}$

b) Ta có:

• sin165° = sin(180° – 15°) = sin15°

$\Rightarrow$ sin165° = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};$

• cos165° = cos(180° – 15°) = –cos15°

$\Rightarrow$ cos165° = $-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4};$

Khi đó:

A = sin75°. cos165° + cos105°. sin165°

Vậy A = –1.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 9: Tích của một vectơ với một số