Cho tam giác ABC. a) Tìm điểm M sao cho MA + MB + 2.MC = 0; b) Xác định điểm N

Bài 4.19 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$

b) Xác định điểm N thoả mãn  $4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}.$

Trả lời

a)

Gọi I là trung điểm của AB.

Khi đó: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ 

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=$$2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}\right)$

Gọi K là trung điểm của IC, khi đó: $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MK}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=2.2\overrightarrow{MK}=4\overrightarrow{MK}.$

Mà $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$

Do đó $4\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{MK}=\overrightarrow{0}$

Suy ra M ≡ K.

Vậy M là trung điểm của IC (với I là trung điểm của AB).

b)

Ta có: 

Gọi H là trung điểm của AC, khi đó 

Giả sử P là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{PA}+2.\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{0}$

Khi đó 

Mà $4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}.$

Nên 

Gọi Q là điểm nằm trên cạnh AB sao cho $\overrightarrow{AQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{AQ}$

Do đó tứ giác AQPN là hình bình hành

Vậy điểm N cần tìm là đỉnh của hình bình hành AQPN (với Q thỏa mãn $\overrightarrow{AQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ và P thỏa mãn $\overrightarrow{PA}+2.\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{0}$, H là trung điểm của AC).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4