Cho tam giác ABC. a) Tìm điểm K thoả mãn KA + 2.KB + 3.KC = 0; b) Tìm tập hợp các điểm M

Bài 4.20 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm K thoả mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}.$

b) Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{2MB}+3\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|.$

Trả lời

a)

Gọi I là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC.

Khi đó $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{KI}$ và $\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{KH}$

$\Rightarrow \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}$$=\left(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}\right)+2\left(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}\right)$

$=2\overrightarrow{KI}+2.2\overrightarrow{KH}$$=2\overrightarrow{KI}+4\overrightarrow{KH}$

Mà $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}.$

Nên 

Khi đó $\overrightarrow{KI}$ và $\overrightarrow{KH}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng và $\left|\overrightarrow{KI}\right|=2\left|\overrightarrow{KH}\right|$

Do đó điểm K nằm giữa hai điểm I và H sao cho KI = 2KH.

Vậy ta có điểm K thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$ như hình vẽ.

b)

Chứng minh tương tự câu a ta có:

Mà $2\overrightarrow{KI}+4\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{0}$ (câu a)

Nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{2MB}+3\overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{MK}$

Lại có: $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}$

Do đó  $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{2MB}+3\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|.$

$\iff \left|6\overrightarrow{MK}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|$

$\Rightarrow$ 6MK = CB

$\iff KM=\frac{BC}{6}$

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm K, bán kính bằng $\frac{BC}{6}$ như hình vẽ.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4