Cho số thực (a > 0.) Giả sử hàm số f( x ) liên tục và luôn dương trên đoạn [ 0;a ] thỏa mãn f( x ).f( a - x) = 1. Giá trị tích phân I = limits 0^a 1/1 + f( x ) dx là A. I = 2a/3 B. I = a/
48
19/04/2024
Cho số thực \(a > 0.\) Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và luôn dương trên đoạn \(\left[ {0;a} \right]\) thỏa mãn \(f\left( x \right).f\left( {a - x} \right) = 1.\) Giá trị tích phân \(I = \int\limits_0^a {\frac{1}{{1 + f\left( x \right)}}} dx\) là
A. \(I = \frac{{2a}}{3}.\)
B. \(I = \frac{a}{2}.\)
C. \(I = \frac{a}{3}.\)
D. \(I = a.\)
Trả lời
Hướng dẫn giải
Đặt \(t = a - x \Rightarrow dt = - dx.\) Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = a;x = a \Rightarrow t = 0.\)
Khi đó \(I = \int\limits_0^a {\frac{1}{{1 + f\left( {a - t} \right)}}dt = \int\limits_0^a {\frac{1}{{1 + f\left( {a - x} \right)}}dx} = \int\limits_0^a {\frac{1}{{1 + \frac{1}{{f\left( x \right)}}}}} dx = \int\limits_0^a {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}}dx.} } \)
\( \Rightarrow 2I = \int\limits_0^a {\frac{1}{{1 + f\left( x \right)}}dx + \int\limits_0^a {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}}dx} = \int\limits_0^a {1.dx = a.} } \) Vậy \(I = \frac{a}{2}.\)
Chọn B.
