Cho sinα + cosα = m. Tìm m để sin2alpha = -3/4

Bài 7 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sinα + cosα = m. Tìm m để $\sin 2\alpha =-\frac{3}{4}.$

Trả lời

Ta có $\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha =\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\text{sin}\alpha +\frac{\sqrt{2}}{2}\text{cos}\alpha \right)=\sqrt{2}\text{sin}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$

Vì $-1\le \text{sin}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}\le \text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha \le \sqrt{2}$. Suy ra $-\sqrt{2}\le m\le \sqrt{2}$

Ta lại có ${(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2={\text{sin}}^2\alpha +2\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha +{\text{cos}}^2\alpha =1+\text{sin}2\alpha$

Suy ra $\text{sin}2\alpha ={(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2-1=m^2-1$

Khi đó, $\text{sin}2\alpha =-\frac{3}{4}$ hay $m^2-1=-\frac{3}{4}$, suy ra $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$(thoả mãn điều kiện).

Vậy $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Góc lượng giác

Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương 1