Phương pháp:
+) Gọi d là công sai của cấp số cộng trên, sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng \[{S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2}\] tìm d.
+) Viết công thức của SHTQ của CSC.
+) Tính \[\frac{1}{{{u_k}{u_{k + 1}}}},\] rút gọn sau đó tính S.
Cách giải:
Gọi d là công sai của cấp số cộng trên ta có:
\[{S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2} \Rightarrow {S_{100}} = \frac{{\left( {2 + 99d} \right).100}}{2} = 10000 \Rightarrow d = 2.\]
Khi đó ta có số hạng tổng quát của cấp số cộng là \[{u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right).2 = 2n - 1.\]
Xét \[{u_k}{u_{k + 1}} = \frac{1}{{\left( {2k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2k - 1}} - \frac{1}{{2k + 1}}} \right).\] Khi đó ta có:
\[S = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{197}} - \frac{1}{{199}}} \right)\]
\[ \Rightarrow S = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{199}}} \right) = \frac{{99}}{{199}}\]
Vậy \[S = \frac{{99}}{{199}}.\]