Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right){{\left( {x + 1} \right)}^3}} }}dx = \sqrt a - \sqrt b } ;\) với \(a,b\) là các số nguyên.

Giá trị của biểu thức \({a^b} + {b^a}\) bằng

Hướng dẫn giải

Giá trị của \(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right){{\left( {x + 1} \right)}^3}} }}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {\frac{{x + 3}}{{x + 1}}} }}} \frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)

Đặt \(t = \sqrt {\frac{{x + 3}}{{x + 1}}} \Rightarrow 2tdt = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx \Rightarrow \frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = - tdt.\)

Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = \sqrt 3 ,x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 .\)

Ta có \(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {\frac{{x + 3}}{{x + 1}}} }}\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 2 } {\frac{1}{t}\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 3 } {dt} = t\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle\sqrt 2 }^{\scriptstyle\sqrt 3 \atop\scriptstyle}} \right.} = \sqrt 3 - \sqrt 2 .\)

Mà \(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right){{\left( {x + 1} \right)}^3}} }}dx} = \sqrt a - \sqrt b \) nên suy ra \(a = 3,b = 2.\)

Từ đó ta có giá trị \({a^b} + {b^a} = {3^2} + {2^3} = 17.\)

Chọn A.