Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo, lấy G trên cạnh BC, H trên cạnh CD

Bài 49 trang 79 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo, lấy G trên cạnh BC, H trên cạnh CD sao cho $\widehat{GOH}=45°.$ Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh:

a) ∆HOD ᔕ ∆OGB;

b) MG // AH.

Trả lời

a) Do ABCD là hình vuông nên đường chéo là tia phân giác của mỗi góc.

Suy ra $\widehat{CDB}=\widehat{CBD}=45°.$

Mặt khác:

$\widehat{DOH}+\widehat{BOG}=180°-\widehat{GOH}=180°-45°=135°;$

$\widehat{BOG}+\widehat{BGO}=180°-\widehat{OBG}=180°-45°=135°.$

Suy ra $\widehat{DOH}=\widehat{BGO}.$

Xét ∆HOD và ∆OGB có:

$\widehat{HDO}=\widehat{OBG}=45°$; $\widehat{DOH}=\widehat{BGO}$

Suy ra ∆HOD ᔕ ∆OGB (g.g).

b) Theo câu a, ta có ∆HOD ᔕ ∆OGB, suy ra $\frac{HD}{OB}=\frac{OD}{GB}$ (tỉ số đồng dạng)

Do đó HD.GB = OB.OD.

Đặt MB = a, khi đó AD = 2a (do M là trung điểm của AB, AB = AD)

Xét ∆ABD vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có: BD² = AB² + AD².

Do đó $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}$ = $\sqrt{{\left(2a\right)}^2+{\left(2a\right)}^2}=\sqrt{8a^2}=2a\sqrt{2}.$

Suy ra $OB=OD=a\sqrt{2}.$

Khi đó $HD.GB=OB.OD$ = $a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}=2a^2$ = $2a\cdot a=AD\cdot BM$

Vì HD.GB = AD.BM nên $\frac{HD}{BM}=\frac{AD}{BG}$

Xét ∆DHA và ∆BMG có:

$\widehat{HDA}=\widehat{MBG}=90°$ và $\frac{HD}{BM}=\frac{AD}{BG}$

Suy ra ∆DHA ᔕ ∆BMG (c.g.c).

Do đó $\widehat{AHD}=\widehat{M_1}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AHD}=\widehat{BAH}$ (hai góc so le trong do AB // CD).

Suy ra $\widehat{M_1}=\widehat{BAH}$

Mà $\widehat{M_1}$ và $\widehat{BAH}$ ở vị trí đồng vị nên MG // AH.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài 9: Hình đồng dạng

Bài 10: Hình đồng dạng trong thực tiễn

Bài tập cuối chương 8