Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Từ C kẻ CE vuông góc với AB (E thuộc đường thẳng AB), CF vuông góc với AD

Bài 48 trang 79 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Từ C kẻ CE vuông góc với AB (E thuộc đường thẳng AB), CF vuông góc với AD (F thuộc đường thẳng AD). Chứng minh: AB.AE + AD.AF = AC².

Trả lời

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D, B trên đường thẳng AC.

Xét ∆AHD và ∆AFC có:

$\widehat{AHD}=\widehat{AFC}=90°$; $\widehat{FAC}$ là góc chung

Suy ra ∆AHD ᔕ ∆AFC (g.g).

Do đó $\frac{AD}{AC}=\frac{AH}{AF}$ (tỉ số đồng dạng) hay AD.AF = AC.AH (1).

Xét ∆AKB và ∆AEC có:

$\widehat{\text{AK}B}=\widehat{AEC}=90°$; $\widehat{EAC}$là góc chung

Suy ra ∆AKB ᔕ ∆AEC (g.g).

Suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{AK}{AE}$ (tỉ số đồng dạng) hay AB.AE = AC.AK (2).

Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Suy ra $\widehat{BAK}=\widehat{DCH}$ (2 góc ở vị trí so le trong)

Xét ∆ABK và ∆CDH có:

AB = CD, $\widehat{BAK}=\widehat{DCH}$

Suy ra ∆ABK = ∆CDH (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó AK = HC (hai cạnh tương ứng).

Cộng (1) và (2) theo vế ta được:

AD.AF + AB.AE = AC.(AH + AK)

= AC.(AH + HC) (do AK = HC)

= AC.AC = AC².

Vậy AB.AE + AD.AF = AC².

Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài 9: Hình đồng dạng

Bài 10: Hình đồng dạng trong thực tiễn

Bài tập cuối chương 8