Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh a. a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng

Bài 7.25 trang 59 Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh a.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D'AC)và (BC'A') song song với nhau và DB' vuông góc với hai mặt phẳng đó.

b) Xác định các giao điểm E, F của DB' với (D'AC), (BC'A'). Tính d((D'AC), (BC'A')).

Trả lời

a) Vì AA' // CC' và AA' = CC' (do chúng cùng song song và bằng BB') nên AA'C'C là hình bình hành, suy ra AC // A'C' do đó A'C' // (D'AC).

Vì AB // C'D' và AB = C'D' (do chúng cùng song song và bằng CD) nên ABC'D' là hình bình hành suy ra BC' // AD', do đó BC' // (D'AC).

Vì A'C' // (D'AC) và BC' // (D'AC) nên (BC'A') // (D'AC).

Vì ABCD là hình vuông nên AC $\perp$ BD.

Vì BB' $\perp$ (ABCD) nên BB' $\perp$ AC mà AC $\perp$ BD nên AC $\perp$ (BB'D), suy ra AC $\perp$ DB'.

Vì AC // A'C' mà AC $\perp$ DB' nên A'C' $\perp$ DB'.

Do AD $\perp$ (ABB'A') nên AD $\perp$ A'B.

Vì ABB'A' là hình vuông nên AB' $\perp$ A'B mà AD $\perp$ A'B nên A'B $\perp$ (ADB').

Suy ra A'B $\perp$ DB'.

Có A'C' $\perp$ DB' và A'B $\perp$ DB' nên DB' $\perp$ (BC'A').

Vì A'D' // BC và A'D' = BC (do chúng cùng song song và bằng AD) nên A'D'CB là hình bình hành, suy ra A'B // D'C mà A'B $\perp$ DB' nên D'C $\perp$ DB'.

Có AC $\perp$ DB' và D'C $\perp$ DB' nên DB' $\perp$ (D'AC).

b) Gọi O và O' lần lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và A'B'C'D'.

Trong mặt phẳng (BDD'B'), có DB' $\cap$ D'O = E. Khi đó DB' $\cap$ (D'AC) = E.

Trong mặt phẳng (BDD'B'), có DB' $\cap$ BO' = F. Khi đó DB' $\cap$ (BC'A') = F.

Vì (BC'A') // (D'AC) nên d((D'AC), (BC'A')) = d(E, (BC'A')) = EF (vì DB' $\perp$ (BC'A')).

Vì DB' $\perp$ (BC'A') nên DB' $\perp$ BO' và DB' $\perp$ (D'AC) nên DB' $\perp$ D'O, suy ra BO' // D'O.

Xét tam giác DBF, có OE // BF nên theo định lí Ta lét, ta có: $\frac{DE}{EF}=\frac{DO}{OB}=1$$\Rightarrow DE=EF$ .

Xét tam giác B'D'E có O'F // D'E nên theo định lí Ta lét, ta có: $\frac{B^{\text{'}}F}{EF}=\frac{B^{\text{'}}{O}^{\text{'}}}{O^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=1$$\Rightarrow$B'F = EF.

Do đó B'F = EF = DE $\Rightarrow$EF = $\frac{1}{3}$DB' .

Xét tam giác BCD vuông tại C, có $B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2=a^2+a^2=2a^2$.

Xét tam giác B'BD vuông tại B, có $B^{\text{'}}{D}^2=B^{\text{'}}{B}^2+B{D}^2=a^2+2a^2=3a^2$

$\Rightarrow B^{\text{'}}D=a\sqrt{3}$$\Rightarrow EF=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Vậy d((D'AC), (BC'A')) = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: